پارادوکس چرخ ارسطو

پارادوکس چرخ ارسطو

پارادوکس چرخ ارسطو

دو چرخ با شعاع های متفاوت ولی هم محور داریم. اگر چرخ بزرگتر را روی سطحی بغلتانیم چرخ کوچکتر نیز همراه آن خواهد چرخید. و بلعکس اگر چرخ کوچکتر را روی میله ای که موازی با سطح است بغلتانیم چرخ بزرگتر نیز خواهد چرخید.

اگر چرخ بزرگتر یک دور کامل بزند چرخ کوچکتر نیز دقیقا" یک دور خواهد زد. و بلعکس اگر چرخ کوچکتر یک دور کامل بزند چرخ بزرگتر نیز یک دور خواهد زد. همان طور که می بینید از روی شکل نیز این موضوع کاملا" مشخص است.

حال اگر شما مسیر حرکت دو چرخ را بر روی یک صفحه رسم کنید دو خط موازی به یک اندازه خواهید داشت. در صورتی که می دانیم دو چرخ با شعاع های متفاوت دارای محیط های نابرابری هستند.

پس چگونه ممکن است دو دایره با محیط های نابرابر مسافت های برابری را طی کنند؟

این پارادوکس که به "پارادوکس چرخ ارسطو" معروف است. 320 سال قبل از میلاد در کتابی یونانی شرح داده شده است. و قرن ها ذهن ریاضی دانان دنیا را به خود معطوف کرده است.

14 comments

Skip to comment form

    • منصور on 2023-04-05 at 01:19
    • پاسخ

    اگه دو دایره رو دو چرخ دنده با دنده هایی یک شکل تصور کنیم بطوریکه مثلا چرخ بزرگ 15 دنده و چرخ کوچک 10 دنده داشته باشد چرخ ها به هم چسبیده باشند و هر دو روی را بخواهیم با هم روی دو چرخ شانه که به هم چسبیده باشند حرکت بدهیم میبینیم که دایره ها حرکت نمیکنند ولی در شکل بالا چرخ دنده کوچکتر علاوه بر حرکت روی خط کمی هم لیز میخورد

  1. من نخ گذاشتم و دو دایره هم مرکز نتیجه این بود
    این تصویر جفنگ خالص هست و مسافت طی شده باچرخ بزرگ ببشتر هست

    • امید نصرت پور on 2023-03-12 at 12:18
    • پاسخ

    سلام، مسیر حرکت توی صفحه xy مطابق شکله ولی در صفحه xz (دید از بالا) بصورت یک منحنی یا بعبارتی یک کمانه که طول هر کمان دقیقا برابر با محیط دایره مربوطست. مثال عملیش میتونه چرخ آسیاب گندم باشه که در اونجا ام دوتا استوانه ( در دوبعدی دو دایره ) هم مرکز داریم .
    نتیجه گیری در عالم واقعی و سه بعدی دایره ها روی یک خط مستقیم حرکت نمیکنن بلکه روی یک کمان حرکت میکنن.

  2. مقدار جابه‌جایی به مرکز دوایر ربط داشت که یکسان است و ربطی به محیط نداره. دو دایره داریم که همزمان با هم یک دور میزنند، برای روشنتر شدن موضوع بذارید یک مثال بیارم که درک مسئله ساده تر بشه. اگر خطهای مسافت طی شده را دو فنر یکسان باریک فرض کنیم که قابلیت جمع شدن و کشیده شدن دارد. فرض کنیم طول فنر به اندازه محیط دایره بزرگتر باشد، اکنون وقتی دایره بزرگتر حرکت میکند تا با یک دور، فنر را دور خود بپیچد، دایره کوچکتر علاوه بر حرکت، سعی میکند فنر را فشرده کند تا این طول را روی محیط خودش جای دهد. اگر طول فنر به اندازه محیط دایره کوچکتر باشد، با حرکت دایره بزرگتر آن را کم کم همزمان با حرکت باز میکند تا آن را روی محیط خود قرار دهد. به همینصورت اگر طول فنر هرچی باشه، با فشرده یا کش دادن فنر، هردو دایره همزمان آن را روی محیط خود جای میدهند،

  3. سلام
    نباید در این مساله محیط دایره ها رو با هم قیاس کنیم. مرکز دایره که محیط صفر داره به اندازه محیط دایره بزرگ حرکت میکنه. بعبارتی هر نقطه دلخواه درون دایره به اندازه محیط بزرگترین دایره جابجا میشه

    • میثاق on 2020-01-18 at 13:41
    • پاسخ

    سرعت دایره کوچکتر بیشتر از چرخ بزرگتر است و اگر نسبت شعاع چرخ بزرگ به کوچک را a در نظر بگیریم پس از یک بار دور زدن چرخ بزرگتر، چرخ کوچکتر a دور می چرخد.

      • ناشناس on 2020-02-10 at 16:07
      • پاسخ

      سرعت خطی چرخ بزرگتر بیشتره

    • م م ضد on 2018-12-19 at 02:13
    • پاسخ

    عزیز این مسئله قرن هاست ذهن دانشمندارو مشغول کرده بعد تو فکر کردی به همین راحتی حل میشه میگه چرا محیط هاشون برابر شده نه اینکه مسافت یکسان طی کردن یا باهم حرکت میکنند

    • Math Love on 2016-09-21 at 00:16
    • پاسخ

    سلام

    اين سوال خوبيه؛نگاه كنيد اگر چرخ كوچيكه را در حالت عادي روي زمين بغلتانيم مسافتي كمتر از چرخ بزرگه با همين شرايط را طي ميكند ولي در اين حالت كه چرخ بزرگ و كوچك با زاويه يكسان شروع به حركت ميكند ولي چرخ بزرگ و كوچيك با هم ميرسند.

    پس كاملا واضحه كه (چرخ كوچك هم ميغلته و هم ميلغزه)يعني چرخ بزرگ با خطي كه به چرخ كوچيك وصله اون رو به سمت خودش مي كشه و ميلغزونه دقيقاً مثل بچه اي كه دسته مامانش را گرفته و راه ميره.

    1. بسیار زیبا توضیح دادید احسنت

      • ناشناس on 2022-06-01 at 22:38
      • پاسخ

      عالی بود ممنون

      • امید نصرتپور on 2023-03-12 at 14:34
      • پاسخ

      کاملا درسته . اگه بخواهیم حرکتمون خطی باشه و یک نقطه روی محیط دایره بزرگ و کوچیک همیشه تکیه گاه باشه فقط یک دایره میتونه حرکت بدون لغزش داشته باشه. میشه مسئله فقط از طریق آزمایش عملی درک کرد. و در انتها دهنت سرویس ارسطو دوساعته مخمونو گرفتی?

  4. سلام

    اگه در کنار ریاضی مسأله، فیزیک اون رو هم در نظر بگیریم امکان داره.

    محل برخورد دایره بزرگ با زمین مرکز آنی دوران است، بنابراین سرعت دایره کوچک از دایره بزرگ بیشتر است. اگه سرعت ها به نسبت عکس شعاع ها باشد، مسافت طی شده برابر می شود.

    1. مشکل اینه که با پذیرفتن این موضوع نتیجه میشه که محیط دایره ها برابرند و این تناقضی است که باید پاسخ داده شود

پاسخ دادن به e.s.m لغو پاسخ

آدرس پست الکترونیکی شما منتشر نمی‌شود.