هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی

هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی

هندسه نااقلیدسی

علومی كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامی محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادی به بعدبه اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضی و فلسفه ی طبيعی بود. فلسفه ی طبيعی توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتنی بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعی يونان می دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادی همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمی داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتری برخوردار بود. یکی از شاخه های مهم ریاضیات هندسه بود که آن هم در هندسه اقلیدسی خلاصه می شد.
در هندسه ي اقليدسی يك سری مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج می كردند. اما اصل پنجم چندان بديهی به نظر نمی رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.
برخی از رياضيدانان مدعی بودند كه اين اصل را می توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياری از رياضيدانان تلاش زيادی كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوی راهی برای اثبات "اصل توازی" مبتكر مفهوم عميقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات اين اصل، خيام گزاره هايی را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكری رياضيدانان اروپايی بيان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقليدسی در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولی متفاوت با آن بيان كردند و هندسه های نااقليدسی شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ی طبيعی رياضيات نيز از انحصار يونانی خارج و در مسيری جديد قرار گرفت و آزاد انديشی در رياضيات آغاز گرديد.    
                  

 

اصطلاحات بنيادی رياضيات طی قرنهای متمادی رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه  خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايی در نظر می گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوششهاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.

بنابراين، اينكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه كه مي گوييم درست است.

دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنكه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.

بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.

اشكالات وارد بر هندسه اقليدسی

هندسه اقليدسی بر اساس 5 اصل موضوع زير شكل گرفت:

اصل اول- از هر نقطه می توان خط مستقيمی به هر نقطه ديگر كشيد.

اصل دوم- هر پاره خط مستقيم را می توان روی همان خط به طور نامحدود امتداد داد.

اصل سوم- می توان دايره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم كرد.

اصل چهارم- همه زوايای قائمه با هم مساوی اند.

اصل پنجم- از يک نقطه خارج يک خط، يك خط و تنها يک خط می توان موازی با خط مفروض رسم كرد.

 

اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهی نبود. در واقع اين اصل بيشتر به یک قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعی بود كه لزوم واقعی آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جای آن می توان معادل قابل قبول تری قرار داد.

در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و … تلاش كردند اصل 5 اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثبات خود به كار می بردند. دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.

يانوش بويوئی يكي از رياضيدانان جوانی بود كه در اين راه تلاش می كرد. پدر وی نيز رياضيدانی بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود.
و طی نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازی ها تلاش كنی، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر می شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايی و شادمانی زندگی مرا به كام نابودی فرو برده است، التماس می كنم دانش موازيها را رها كنی!

ولی يانوش جوان از اخطار پدر نهراسيد، زيرا كه انديشه كاملاً تازه ای را در سر مي پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازی اقليدس، حكم بی معنی ای نيست. وی در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه ای از آن را برای گاوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گاوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.

بعدها مشخص شد كه لباچفسكی در سال 1829 كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسی در بولتن كازان، دو سال قبل از بویوئی منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه های نااقليدسی به نام بويوئی و لباچفسكی ثبت گرديد.

هندسه های نااقليدسی

اساساً هندسه نااقليدسی چيست؟ هر هندسه ای غير از اقليدسی را نااقليدسی می نامند. از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه های نااقليدسی و اقليدسی تنها در اصل توازی است. در هندسه اقليدسی به ازای هر خط و هر نقطه ناواقع بر آن يک خط می توان موازی با آن رسم كرد.

نقيض اين اصل را به دو صورت می توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازی كه از يك نقطه نا واقع بر آن، می توان رسم كرد، بيش از يكی است و يا اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه های نااقليدسی را می توان به دو گروه تقسيم كرد:

1- هندسه های هذلولوی

هندسه های هذلولوی توسط بويوئی و لباچفسكی بطور مستقل و همزمان كشف گرديد.
اصل توازی هندسه هذلولوی: از يك خط و يك نقطه ناواقع بر آن دست كم دو خط موازی با خط مفروض می توان رسم كرد.

2- هندسه های بيضوی

در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد كه اگر نامتناهی بودن خط مستقيم كنار گذاشته شود و صرفاً بی كرانی آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل جزئی اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسی ديگری را می توان به دست آورد. پس از اين تغييرات اصل توازی هندسه بيضوی بصورت زير ارائه گرديد:

اصل توازی هندسه بيضوی: از يك نقطه ناواقع بر يك خط نمی توان خطی به موازات خط مفروض رسم كرد.

يعني در هندسه بيضوی، خطوط موازی وجود ندارد. با تجسم سطح يك كره می توان سطحی شبيه سطح بيضوی در نظر گرفت. اين سطح كروی را مشابه يك صفحه در نظر می گيرند. در اينجا خطوط با دايره های عظميه كره نمايش داده می شوند. بنابراين خط ژئودزيك يا مساحتی در هندسه بيضوی بخشی از يك دايره عظيمه است.

در هندسه بيضوی مجموع زوايای يك مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوی با حركت از يك نقطه و پيمودن يك خط مستقيم در آن صفحه، می توان به نقطه ی اول باز گشت! همچنين می توان ديد كه در هندسه بيضوی نسبت محيط يك دايره به قطر آن همواره كمتر از عدد پی است.

انحنای سطح يا انحناي گاوسی

اگر خط را راست فرض كنيم نه خميده، چنانچه ناگزير باشيم يك انحنای عددی k به خطی نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o. انحنای يك دايره به شعاع r برابر است با k=1/r.
همچنين منحنی هموار، منحنی ای است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پيوسته تغيير كند. به عبارت ديگر منحنی هموار يعنی در تمام نقاطش مشتق پذير باشد.

براي به دست آوردن انحنای يك منحنی در يك نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحنای منحنی در آن نقطه برابر با انحنای دايره بوسان در آن نقطه است. دايره بوسان در يك نقطه از منحنی، دايره ای است كه در آن نقطه با منحنی بيشترين تماس را دارد. توجه شود كه برای خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بينهايت است.

براي تعيين انحنای يك سطح در يك نقطه، دو خط متقاطع مساحتی در دو جهت اصلی در آن نقطه انتخاب كرده و انحنای اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي كنيم. فرض كنيم انحنای اين دو خط

k1=1/R1 و k2=1/R2

باشند. آنگاه انحنای سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعنی:

k=1/R1R2

انحنای صفحه اقليدسی صفر است. همچنين انحنای استوانه صفر است: k=o

براي سطح هذلولوی همواره انحنای سطح منفی است: k<0

براي سطح بيضوی همواره انحنا مثبت است: k>o

در جدول زير هر سه هندسه ها با يكديگر مقايسه شده اند:

نوع هندسه
تعداد خطوط موازی
مجموع زوايای مثلث
نسبت محيط به قطر دايره
اندازه انحنا
اقليدسی
يك
180
عدد پی
صفر
هذلولوی
بينهايت
< 180
> عدد پی
منفي
بيضوی
صفر
> 180
< عدد پی
مثبت

 

 مفهوم و درك شهودی انحنای فضا

سوال اساسی اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسی يا نا اقليدسي درست است؟ پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. بهترين دانشي كا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يك سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيك است. يك صفحه ي كاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم كنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين كرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي كه مثبت شود، ادعا مي كنيم كه صفحه بيضوي است .


در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچگونه مشكلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يك كشور اصول هندسه ي اقليدسي را بكار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي كنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطكش هايي كه در آزمايشگاه يا كارخانه ها ساخته مي شود، استفاده كنيم. حال سئوال اين است كه اگر خطكش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطكش ما تلاش مي كنيم از بهترين ماده ي ممكن استفاده كنيم. بهمين دليل چوب از لاستيك بهتر است و آهن بهتر از چوب است.

اما براي فواصل دور نظير فواصل نجومی از چه خطكشی (متری) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خطكشی وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امكاناتی توجه كنيم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امكاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الكترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا كنيم كه فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .

اما تجربه نشان مي دهد كه مسير نور هنگام عبور از كنار ماده يعني زماني كه از يك ميدان گرانشي عبور مي كند، خط مستقيم نيست، بلكه منحنی است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسی نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسی فضا نااقليدسی است.

هندسه اقلیدسی

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس پست الکترونیکی شما منتشر نمی‌شود.