 |
چهارگان‌ها از خانوادهٔ ریاضیات گسسته هستند که به نوعی بسط اعداد مختلط می باشند. |
چهارگان‌ها یا کواترنیون‌ها (Quaternion) یک سیستم عددنویسی هستند که به بسط اعداد مختلط می انجامند. چهارگان ها اولین بار توسط ویلیام روآن همیلتون در اکتبر سال 1843 ابداع و ارائه گردید و از آن پس این مفهوم در مکانیک و در فضای سه بعدی مورد استفاده قرار گرفته است.
از خواص چهارگان ها اینکه ضرب آنها خاصیت جابجایی ندارند.
چهارگان ها معمولا بصورت زیر مطرح می شوند:
H = a.1 + b.i + c.j + d.k
که a، b و c اعداد حقیقی و i، j و k نیز واحدهای اصلی چهارگان را تشکیل می دهند.
جدول ضرب چهارگان‌ها
همیلتون در 16 اکتبر 1843 زمانی که در طول کانال سلطنتی به سمت آکادمی ایرلند در حرکت بود ایده چهارگان ها به ذهنش رسید. او به قدری از یافتهٰ خود خوشحال شد که فرمول ابتدایی آن را همان‌جا روی دیوار پل بروم (Broome Bridge) حک کرد بطوری که بعدها به این پل یک جنبه تاریخی خاص و در عین حال ارزشمند بخشید:
i2 = j2 = k2 = ijk = -1
به افتخار همیلتون، بر روی پل بروم، پلاکی نصب شده که به توصیف این واقعه می پردازد:
یادبود کشف همیلتون
از فرمول ابتدایی همیلتون، عبارتهای زیر به دست می‌آیند که معادل با ضرب برداری در فضای ۳ بعدی هستند (قوانین همیلتون)
ij = k, ji = -k,
jk = i, kj = -i,
ki = j, ik = -j,
بسیاری از فراکتال ها در فضای چهارگان (کواترنیون) ها، توضیح داده می شوند.
کواترنیون‌ها عملا در اثبات تئوری مجموع چهار مجذور لاگرانژ نیز بکار برده شده است. این تئوری بیان می کند هر عدد صحیح غیر منفی را می توان بصورت مجموع حداکثر چهار مجذور کامل نوشت:
3 = 12 + 12 + 12 + 02
31 = 52 + 22 + 12 + 12
و در انتها جمله ای از سر ویلیام همیلتون:
گفته می شود زمان تنها یک بُعد دارد و فضا هم سه بُعد، کواترنیون ریاضیات هر دو عنصر را داراست: به زبان دقیق تر، گفته می شود “زمان به اضافه مکان” یا “مکان به اضافه زمان” و به این ترتیب به چهار بُعد ارجاع داده می شود.
